الجذر التربيعي

الجذر التربيعي للعدد المركب z هو العدد المركب w الذي يحقق المعادلة $الجذر التربيعي 87cfeef94e35de2cb9b2bb92d980922f$ ويرمز للجذر التربيعي بالرمز $الجذر التربيعي 979fd65a3b67ed72efcb97723225b063$ .
حسب النظرية^[م] الأساسية للجبر فإن المعادلة $الجذر التربيعي 87cfeef94e35de2cb9b2bb92d980922f$ لها حلان (جذران) في مجموعة الأعداد المركبة. إذا كان w جذرا تربيعيا للعدد z فإن نظيره الجمعي -w جذرا تربيعيا أيضا وذلك لأن $الجذر التربيعي 4206062d7659603fdc585c1a461c7e12$ .
حقيقة 1: إذا كان z عدد مركب بحيث $الجذر التربيعي 61f3d09c5d47ca84fd251beeaa1da868$ فإن الجذرين التربيعيين له يعطيان بالعلاقة

$الجذر التربيعي B95fcecc30663c49cc8b8d127fb5926e$

البرهان: افرض أن $الجذر التربيعي D19dbc26c1878be295d9ef24b064a1fd$ جذر تربيعي للعدد $الجذر التربيعي 3942cf34db99e6eb9d86a5e61a033464$ . إذا كان $الجذر التربيعي 2cd846c62474f70be3291ce24c1bcf6a$ فالنتيجة^[م] واضحة لذلك افرض أن $الجذر التربيعي 0c3f0e3a4608bac89f6cebab322f2d22$ . إذا

$الجذر التربيعي Fe9fd94611735976427ae5a13589a5d8$

بنشر المقدار المربع^[م] ومقارنة الجزء الحقيقي والجزء التخيلي في كلا الطرفين نصل إلى أن

$الجذر التربيعي 38a19376d7a7e63ef9dd52ac6dde80e9$

بتربيع المعادلة الثانية والتعويض منها في المعادلة الأولى عن $الجذر التربيعي B44983fd7df87222c2bddd4dfb7d5bdf$ والترتيب نجد أن

$الجذر التربيعي 9bdb124690b7bc46862261f9239770e2$

وهذه معادلة من الدرجة الثانية في $الجذر التربيعي 7c1b7aa5b0e38441c1dcc9e7c96b3e97$ تحل بقانون معادلة الدرجة الثانية وبالتالي

$الجذر التربيعي 27caa29a9a82e02ce4bced53bfdc6518$

بما أن $الجذر التربيعي 7c1b7aa5b0e38441c1dcc9e7c96b3e97$ غير سالب نهمل الإشارة السالبة لأن $الجذر التربيعي Fd22d4e820608738939adf1f2e8d142f$ . إذا

$الجذر التربيعي Daf2d3b3da7271530ad44acd7c61953e$

إذا القيمة الموجبة للعدد الحقيقي x هي

$الجذر التربيعي D9d2f1112f4a763ae2116c8e7ae9d1ee$

اقسم المعادلة $الجذر التربيعي Cf27214bc4f16ef696d01d8389a4c904$ على 2x والتعويض عن x والضرب في مرافق الجذر الناتج.

$الجذر التربيعي 08edbbb4666a74b3bffebffc9d9e1e03$

$الجذر التربيعي 7b2227ef6b918c36fbf0d33d97059f5b$
إذا
$الجذر التربيعي Ab1f1a6d989ddedcc3099e903b04241d$

حيث $الجذر التربيعي E36488d8d279e80794024f26fbde72e1$ تعني إشارة العدد b. إذا

$الجذر التربيعي B95fcecc30663c49cc8b8d127fb5926e$

الصورة المثلثية لجذر العدد المركب
يمكن الوصول لقانون أخر لحساب الجذر التربيعي من خلال الصورة المثلثية للعد المركب. إذا كتبنا العدد المركب z بالصورة المثلثية

$الجذر التربيعي A031020a95118c82badd2b656de952cd$

حيث r هي مقياس العدد المركب و $الجذر التربيعي 50d91f80cbb8feda1d10e167107ad1ff$ سعة أو زاوية^[م] العدد المركب . من نظرية ديموافر

$الجذر التربيعي 19aae9ceffe74578ca253030e0796e5b$

من هنا نستنتج وبسرعة أحد الجذور التربيعيه للعدد z وحيث الجذران متناظران جمعيا فإن

$الجذر التربيعي Eb291e6c1963b34db10ea464fb75cc02$

بما أن $الجذر التربيعي B030cbdb948c967db4b036a6995861d1$ فإن هذا القانون يمكن كتابته بشكل آخر بدلالة العدد المركب $الجذر التربيعي E1c7763a1ff9fc138ac41c27163a66c2$ , كاتالي

$الجذر التربيعي 55342e2e6cdaef7982d78f0547684666$