شرح لدروس مادة الرياضيات

بإذن الله تعالى سأحاول أن أضع سلسلة شروحات لدروس ومواضيع لمحبي مادة الرياضيات بجميع فروعه .

وأرجوا لكم قضاء وقت ممتع .. وإذا وجدت أي نقطة غير مفهومة أو صعبة يرجى تنبيهي بها حتى يمكنني

المساعدة . وأتمنى لكم الإستفادة

سنبدأ سلسلة الشروحات بفرع الإحصاء ..

1- الدرس الاول (( الوسيط ))

الوسيط لمجموعة من الأرقام مرتبة حسب قيمها (في ترتيب تصاعدي أو تنازلي) هي القيمة التي تتوسط البيانات التي تقع في المنتصف أو الوسط الحسابي للقيمتين اللتين تتوسطان البيانات أو تقع في منتصف البيانات، أي تقسمها البيانات إلى قسمين متساويين.

مثال 1 = إذا كان حجم العينة رقم فردي، مجموعة الأرقام 3,4,4,5,6,8,8,8,10 وسيطها هو 6 .

مثال 2 = إذا كان حجم العينة عدد زوجي، مجموعة الأرقام 5,5,7,9,11,12,15,18 وسيطها هو

أما في البيانات المبوبة فإننا نحصل على الوسيط بطريقة الاستكمال ويحسب كالآتي :

(......

حيث :
= الحد الأدنى الحقيقي للفئة الوسيطية (أي الفئة التي يقع فيها الوسيط) .
n = عدد العناصر في البيانات (مجموع التكرارات) .
= مجموع التكرارات لجميع الفئات قبل الفئة الوسيطية .
f median = تكرار الفئة الوسيطية .
c = طول الفئة الوسيطية .

ويمكن التعبير هندسياً عن الوسيط بأنه القيمة X على الإحداثي السيني التي إذا رسم عندها عمود رأسي فإنه يقسم المدرج التكراري إلى جزءين متساويين ويعبر عن هذه القيمة أحياناً بــــ

أتمنى لكم الإستفادة و هذه أمثلة مع حلولها على الموضوع :

--------------------------------------------------------------------------

مثال (1) : إذا كان أجر الساعة لخمسة عاملين في مصنع هو 9.20$, 3.75$, 3.96$, 3.28$, 2.52$ أوجد :

(أ) وسيط أجر الساعة .
(ب) الوسط الحسابي لأجر الساعة .

الحل :

9.20$, 3.75$, 3.96$, 3.28$, 2.52$

وبما أن عدد القيم فردي ترتيب الرقم الوسيط = ، فإن هناك قيمة واحدة في المنتصف حيث نأخذ الترتيب رقم (3) وهي 3.75$ وهي الوسيط المطلوب.


ب) الوسط الحسابي هو :

لاحظ أن الوسيط لم يتأثر بالقيمة المتطرفة (9.20$) بينما تأثر بها الوسط الحسابي . وفي هذه الحالة فإن الوسيط يعطي دلالة أفضل على معدل أجر الساعة عن الوسط الحسابي .


----------------------------------------------------------------------------

مثال (2) : يوضح الجدول الآتي أطوال 40 طالباً ، أوجد الطول الوسيط ؟

(أ) وسيط أجر الساعة .
(ب) الوسط الحسابي لأجر الساعة

فئات الطول ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، التكرار

118-126 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، 3
127- 135 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، 5
136 - 144 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، 9
145 - 153 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، 12
154 - 162 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، 5
163 - 171 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، 4
172 - 180 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، 2

المجموع 40

إن الوسيط في هذه الحالة هو الطول الذي يقع نصف التكرار الكلي قبله (20= ) والنصف الآخر بعده .

وحيث أن مجموع تكرارات الفئات الثلاثة الأولى هو 17=9+5+3 وحتى نحصل على الرقم المطلوب 20 فإننا نحتاج إلى 3 أرقام من الــــ 12 حالة الموجودة في الفئة الرابعة .

وبما أن الفئة الرابعة 153 - 145 هي في الحقيقة تقابل الأطوال 144.5 - 153.5 فإن الوسيط يقع في المسافة بين 144.5 و 153.5 أي أن الوسيط هو :



أما الطريقة الثانية :

فباستخدام طريقة الاستدلال الرياضي حسب الصيغة (7) بما أن مجموع التكرارات المقابلة للفئات الثلاث الأولى والفئات الأربع الأولى على الترتيب 17=9+5+29 , 3 =12+9+5+3 فإن الوسيط يقع في الفئة الرابعة والتي هي بالتالي الفئة الوسيطية . وبهذا :

= الحد الأدنى للفئة الوسيطية = 144.5
n (مجموع التكرارات) = حجم العينة = 40
= مجموع التكرارات لجميع الفئات قبل الفئة الوسيطية 17=9+5+3
f median = تكرار الفئة الوسيطية وهو 12.
c = طول الفئة الوسيطية وهو 9.

وبهذا فإن

= الوسيط

أتمنى لكم قضاء وقت ممتع ، ومع شرح لدروس أخرى في المرات المقبلة تقبلوا خالص تحياتي